# Рассказать про очень - большое и малое

Леонид Александрович Ашкинази

Рассказать про очень -- большое и малое


Представьте себе алмазный куб, c гранью, равной ширине Ганга.


Раз в тысячу лет прилетает ворон, и чистит клюв об алмазную глыбу.


Время, за которое изотрется алмаз, -- лишь мгновение в вечности.


Древнеиндийское определение


Первая страница записной книжки инженера-электрика Александра Ашкинази, середина прошлого века


Среди величин, которыми мы характеризуем окружающий мир, есть большие и очень большие, малые и очень малые. Откроем школьный учебник или сами вспомним о межатомных расстояниях в твердых телах и массе атомов, о времени существования наблюдаемой части Вселенной и расстоянии до наблюдаемых нами объектов. Все эти величины благополучно используются в физике и технике, но нам кажется, что мы чего-то не понимаем... или точнее -- не ощущаем. Как нам понять и ощутить?


О чем будем и о чем не будем


Видя большие и малые величины, мы обычно не восхищаемся и не пугаемся. С этим согласится и физик, недрогнувшей рукой записывающий над десяткой степень "-34" (постоянная Планка), и химик, записывающий степень "26" (постоянная Авогадро), и даже, наверное, гуманитарий -- считающий, что он может ощутить все.


В данной заметке сделана попытка

-- разделить большие и очень большие числа, а также малые и очень малые, причем не формальным, а эмоционально доступным способом;

-- привести несколько примеров больших и малых чисел, для которых есть способ вызова ощущений у слушателей;

-- и на основе этих примеров построить способ получения ощущений от таких чисел (без применения химических средств, усилителей вкуса и искусственных красителей).


Математики умеют строить любые числа, например, просто возводя в степень, являющуюся степенью (A в степени B, причем B -- это C в степени D), и, если надо, повторив эту процедуру желаемое количество раз, а потом запустив эту процедуру с использованием полученного этим способом числа в качестве A, C, D и всех следующих за D. Причем сам этот запуск можно тоже вложить внутрь следующего в иерархии запуска. Теперь вы понимаете, чем математика отличается от физики? Более подробное изложение есть в забавной статье "гугология" в Википедии. Но мы ограничимся только физикой, то есть будем рассматривать только физические числа, то есть значения параметров объектов. И вдобавок не будем применять хитрости, то есть делить диаметр видимой Вселенной на гипотетический квант пространства, а ее массу на массу фотона; ограничимся, как положено в школе, системой СИ. Множество примеров больших чисел, в том числе полученных хитрыми методами, приведено в статье geektimes.ru/post/253552/. Ее полезно прочесть и убедиться, что большинство примеров "не цепляет". Если вы химик -- скажите, вы смотрели когда-либо в остолбенении на постоянную Авогадро? Если нет или если да, но не знаете, как передать это чувство вашим ученикам, то эта статья -- для вас.


Немного об иерархии чисел


Большим числом будем называть такое, которое мы можем представить и ощутить в такой мере, чтобы мы сами признали свои представление и ощущение адекватными. Лично для меня это миллион -- таково количество огней, которое можно в принципе увидеть из самолета, идущего на посадку в аэропорту одного из мегаполисов. Действительно -- 300 улиц х 30 домов х 30 этажей х 3 окна. Что-то типа вот этого:


Малое число, которое мы можем ощутить, это примерно одна миллионная, это я -- один в большом городе. Себя одного, как часть населения страны с существенно большим населением или тем более как часть населения Европы или всей Земли, мне ощутить не удается. Итак, одна миллионная.


Дальше все просто -- очень большим будем называть число, от которого малая часть тоже будет большой. Соответственно -- очень малое число. Посередине у нас обычные числа, не большие и не малые, "как ты, как я". Количество микроорганизмов в человеке -- большое, а время, которое читатель потратил на эту статью, -- малая часть его жизни. Дальше можно было бы продолжить шкалу такими же ступенями -- по шесть порядков. Тогда постоянная Авогадро -- большое четвертого ранга, а постоянная Планка -- минус пятого ранга. Такая иерархия проста и понятна, но я сомневаюсь, что все мы способны ощутить леденящий ужас этих чисел. Однако сам ключевой прием -- "очень большое -- это то, от чего малая часть -- большое", -- вполне постижим, ощущаем, и может успешно применяться в преподавании. Например, я говорю учащимся: ваша школьная физика -- малая часть от сегодняшней физики, но она велика, если судить по количеству явлений, которые можно понять, и вещей, которые можно сделать, применяя ее. Кстати, в обычной школе -- это единственный предмет, о котором можно такое сказать.


Рассмотрим несколько примеров


Постоянная Авогадро и стакан


Этот пример общеизвестен. Если взять стакан воды и не выпить его, как советовала Жорж Санд, а вылить в Мировой океан, тщательно размешать и зачерпнуть из океана тем же для определенности стаканом, сколько там окажется молекул, которые радостно узрят родные стенки? Правильный ответ -- около ста.


По моим многолетним наблюдениям, школьники, услышав этот ответ, на 15--30 секунд замирают. Какие сцены проносятся в эти мгновения перед их мысленными взорами, стремительно бороздящими глубины? Названное количество секунд можно принять в качестве оценки испытанного ими впечатления.


Радиоастрономия и лист 8,5 на 11 дюймов


На одной конференции по радиоастрономии устроители поставили между дверями и столиками регистрации отдельный маленький столик, так, что каждый участник и гость должен был мимо него пройти. На столике лежал лист белой бумаги -- чистый лист. Каждый человек, проходя мимо, поступал предсказуемо -- брал лист, переворачивал его и... читал на обороте следующее: "Подняв этот лист и перевернув его, вы потратили больше энергии, чем приняли все радиотелескопы Земли за всю историю их существования". И осторожно клал его обратно...


По моим многолетним наблюдениям, школьники, услышав эту историю, замирают на 30--45 секунд. Вообще-то здесь стоило уточнить понятие "приняли". Имеется в виду не все излучение, попавшее в антенну, а "принятое" -- то есть пошедшее в работу, в обработку электроникой. Иначе пришлось бы -- по чисто формальным причинам -- учесть, например, и солнечное излучение. Оно хоть не радио-, но вполне электромагнитное.


Вечность и трудолюбивая птица


Обратим внимание на эпиграф и предположим, что клюв у ворона тверд, как обычные горные породы, -- это явно лестная оценка. Бурильщики считают, что на метр проходки скважины расход алмазов с бурильной коронки должен быть от 0,1 до 1 карата. Вряд ли ворон способен за одну чистку клюва содрать больше, чем меньшая из этих цифр. Тогда получается, что прилетать ему придется примерно 1017 раз, "мгновение" составит 1020 лет, а сколько составит вечность -- я стесняюсь спросить.


Заметим, что сама конструкция фразы -- "лишь мгновение в вечности" -- предусматривает принципиальную допустимость сопоставления, некоторой соразмерности, то есть измерения. Причем данный пример интересен еще и тем, что конструкцией "лишь мгновение в (чем-то)" вводит нечто вроде нашего "большое -- это малое от очень большого".


Электроны проводимости и вместо Москвы


Металл состоит из ионов и электронов проводимости. Предположим, что мы взяли шарик диаметром один сантиметр и удалили из него электроны проводимости. Если по общеизвестной школьной формуле вычислить напряженность электрического поля, окажется, что на расстояниях до десяти километров она будет выше пробивной прочности воздуха (30 кВ/см). Это означает -- если называть вещи своими именами, -- что Москва превратится в плазменный шар. Через 20 секунд из аудитории меня поправили: "Точнее, полушарие". Пришлось согласиться. Замечу, что вырубить на 20 секунд процессоры моих слушателей мне удается редко...


То есть электронов проводимости в шарике, очевидно, много (точнее, их около 1023). Можно оценить, какую часть из них можно удалить без катастрофических последствий. Оказывается, примерно половину -- в логарифмической шкале! -- то есть 1011. Это хорошая иллюстрация тезиса про очень большое, большое и малое -- малая часть (10-12) от очень большого (1023) тоже достаточно велика (1011), чтобы посыпались искры.


Между прочим, с тем, почему некоторые щелочные металлы взрываются в воде, не все ясно. Недавно было показано, что это связано именно с так называемым "кулоновским взрывом" -- разрушением металла кулоновскими силами при серьезном нарушении электронейтральности ("Nature Chemistry" 2015, doi.org/10.1038/nchem.2161).


Лазер и выбить стекло


В одном задачнике по физике есть такая задача: "Задав концентрацию капель, их размер и скорость движения, определить мощность, длительность и форму лазерного импульса, который фазовым переходом пробил бы туман и дождь, сметая все со своего пылающего пути, поглотился бы стеклом и выбил бы его абляционным давлением. Рассмотреть также нагрев его до размягчения, для облегчения удаления стекла из стеклопакета. А как насчет удаления стекла просто давлением света, по Лебедеву?"


Для варианта с абляционным давлением параметры получаются рекордные (мощность порядка 109 Вт, энергия порядка нескольких кДж). Но само впечатление от ответа существенно усиливается образом разлетающихся стекол. Насчет простого давления света -- это, конечно, шутка.


Пионер и голос издалека

Космический аппарат "Пионер-10" был запущен 46 лет назад, 35 лет назад он первым пересек орбиту самой далекой (на тот момент) планеты Солнечной системы. С его миссией связано много интересных вопросов, например, можно обсудить, покинул он Солнечную систему или нет (ответ очевидно зависит от критерия), или -- как влияет на его движение электромагнитное излучение частей конструкции (так называемый "эффект "Пионеров""). Последний успешный прием данных телеметрии от "Пионера-10" состоялся в 2002 году, последний очень слабый сигнал от него был получен в 2003 году. Аппарат тогда находился на расстоянии свыше 12 миллиардов километров от Земли. Понятно, что это много (1,2х1013 м), но как это ощутить?

Напомните слушателям, что свет летит до Луны секунду. "Пионер" откликнулся через сутки.


Резюме: наглядность или действие


Итак, если считать эти примеры релевантными, то можно посмотреть, что их объединяет. Ответ прост -- в описании большого числа должны быть какие-то действия человека или сопоставление с чем-то, воспринимаемым как знакомое, а лучше всего -- и то, и другое.


И тогда все будет -- и холодок ужаса от необъятности Вселенной, и восторг от того, что мы объяли ее.