# В космос - на безвоздушном шаре?

Леонид Александрович Ашкинази

В космос -- на безвоздушном шаре?


В двадцатом веке дирижабли наполняли горючим водородом,


дорогим гелием или малоэффективным горячим воздухом,


теперь же мы делаем их буквально пустыми.


Прочные наноструктуры позволяют откачать


из оболочки воздух и заместить его вакуумом.


Нил Стивенсон "Алмазный век"


Несколько лет назад, в один прекрасный день, многие средства массовой информации стали одно за другим сообщать, что создан твердый материал, который в несколько раз легче воздуха. Причем эти сообщения сопровождались фотографиями куска этого материала, мирно лежащего на ладони. И не в вакууме, а просто на воздухе.


Читатели, как обычно и бывает при чтении подобных материалов, поделились на две группы. Первые просто удивлялись или восхищались, и недоуменных вопросов у них не возникало. Школьную физику они не изучали, если изучали, то забыли, а если что-то не забыли, то ею не пользовались. В данном случае не повезло закону Архимеда. Вторые, читая про материал легче воздух, мирно лежащий на ладони, смеялись, и удивлялись глупости тех, что это публиковал, а также остальных читателей. Мы надеемся, что вы принадлежите к третьей группе. То есть к тем, кто хочет понять.


Подсказкой будет описание этого материала, который называется "аэрогель". Это очень пористый материал, поры в нем могут занимать и 99% объема, а все остальное может состоять из разных веществ, например, из оксидов или углерода. Общие сведения об этом материале имеются в Википедии, и на момент написания этой заметки, там не было глупостей, но они могут возникнуть в любой момент, так что осторожнее. Например, градусы Цельсия в Кельвины Википедия переводит не всегда правильно, позже мы с этим встретимся. А пока займемся делом -- построим модель подобного материала, выясним, насколько легким он может быть, и нельзя ли сделать так, чтобы он действительно взлетел.


Пусть у нас есть материал с плотностью ? и прочностью ?. Размерность прочности -- Н/м2; в технике принято для прочности и вообще механических напряжений использовать единицы кг/мм2, почему здесь "кг", а не "Н", вы, конечно понимаете, и единицы переводите без калькулятора. Сейчас нам не важно, эта буковка ? -- предел прочности, или предел текучести, или малоцикловая прочность, или какая-то еще -- разных прочностей много. Мы будем просто считать, что это те напряжения, при которых можно использовать материал. Сделаем из этого материала нити диаметром d и соберем из них куб с ребром L. Наш куб будет устроен просто -- это будет трехмерная структура из периодически, с периодом l расположенных вдоль осей координат нитей. Нити, идущие параллельно оси X и параллельно оси Y, расположим в одних плоскостях, параллельных оси Z, иначе они не будут пересекаться. Через эти же точки пересечения пропустим нити, идущие параллельно оси Z, и в каждой точке пересечения все три нити соединим. Попутно вопрос -- сколько у нас всего нитей и точек соединения? Понимаете ли вы, что формулы 3(L/l)2 и (L/l)3 -- приближенные, и почему это так? А еще в качестве развлечения попробуйте мысленно собрать L/l-куб не из нитей, а из плоскостей и получить аналогичные формулы; впрочем, с одним существенным отличием.


Пусть наш куб закрыт с поверхности герметичной оболочкой, весом и собственной прочностью которой пока пренебрегаем. Из пространства внутри оболочки откачиваем воздух, после чего устройство имеет шансы действительно стать легче воздуха. До какой высоты оно поднимется в атмосфере, если не сломается при откачке? Ответ очевидно зависит от отношения прочности к плотности, давайте его получим.


Средняя плотность нашего куба, это отношение всей массы к объему L3, то есть -- получите эту формулу сами -- 3??d2/4l2. При этом учтите, что нити идут вдоль трех осей и их общее количество будет 3L2/l2, а объем каждой нити равен ?d2L/4. С другой стороны, при запуске с уровня Земли нити должны выдержать силу, созданную давлением атмосферы pL2, где p -- атмосферное давление, распределенную оболочкой на площадь сечения всех нитей, выходящих на грань куба -- ?d2L2/4l2. То есть должно выполняться условие pL2 = ??d2L2/4l2, отсюда -- очевидное соотношение p = ??d2/4l2. Если принять p = 105 Па, ? = 5•109 Па, то мы можем использовать d/l = 0,005, например, d = 5 мкм, а l = 1 мм. Представьте себе мысленно эту конструкцию, положите на нее мысленно нагрузку, и прислушайтесь к своим внутренним чувствам. Беспокойство не возникает?


Вернемся в арифметике. Какова будет средняя плотность такого материала, если использовать его предельную прочность, то есть выбрать параметры так, чтобы он еле-еле выдерживал атмосферное давление? Из полученного соотношения p = ??d2/4l и формулы для средней плотности 3??d2/4l2 получаем величину 3?p/?. Заметим, что величину ?/? в технике называют удельной прочностью. Она говорит о том, сколько будет весить та или иная конструкция при заданной прочности. Ну, а мы полезем в справочники, найдем величины ? и ?, и получим для, например, кварца величину около 0,1 кг/м3. Это действительно меньше плотности воздуха -- 1,3 кг/м3 (а эту величину вы можете получить, поделив 29 г на 22,4 л -- величины узнаваемы?). Это только расчет, но в эксперименте величина 0,16 кг/м3 для аэрогеля (но другой конструкции) уже получена.


Однако означает ли это, что такой аэрогель радостно взовьется в воздух? Увы, нет. Потому, что мы учитывали вес только нитей, но не учитывали вес воздуха в пространстве между ними. Но если бы удалось откачать из него воздух, -- он взлетел бы до высоты около 15 км, где плотность атмосферы уменьшается до указанной величины. Кстати, сам по себе каркас аэрогеля (например, кварцевый) теоретически можно сделать еще легче, проблема в методе изготовления и прочности -- чем он будет легче, тем менее прочен. Мы ведь рассматривали конкретное ограничение -- прочность (не нитей, а материала!) должна быть не менее 105 Па -- атмосферного давления.


Займемся оболочкой, которая не пропускает воздух и распределяет силу давления по нитям. Оболочка, лежащая на квадратных ячейках из нитей, будет продавливаться разностью давлений (внутри мы ведь предполагаем иметь вакуум) и может не выдержать. Силу, приходящуюся на ячейку l на l, и равную pl2, должна выдерживать нить сечением порядка d2, и пленка сечением hl, где h -- толщина пленки. Поскольку l >> d, то, беря h >> d, мы можем не опасаться, что пленка порвется, а весить она будет все равно пренебрежимо мало из-за L >> h, то есть из-за того, что она тонкая в масштабе конструкции. Когда я первый раз сунулся в эту милую задачу, в этом месте я возликовал -- все, летим в космос! Но -- помните, где-то выше я призвал вас прислушаться к внутренним чувствам?


Интуиция была права. Есть еще одно ограничение; оно выходит за рамки школьной модели, и мы приведем его без доказательства. Стержень, сжимаемый вдоль оси, может деформироваться не из-за недостатка прочности (это мы выше учли), а из-за "потери устойчивости", то есть изгиба вбок. Эту задачу когда-то впервые решил не кто-нибудь, а сам Эйлер 277 лет назад. Так вот, изгиб круглого стержня происходит при напряжениях порядка ?2Ed2/l2, и при малых d/l, то есть для тонких длинных нитей, даже при большом значении модуля Юнга E (для кварца примем 70•109 Па), можно опасаться изгиба. Выше мы получили как предельную по соображениям прочности на сжатие величину d/l = 0,005, однако при этом предельные напряжения для возникновения изгиба, то есть смятия конструкции, получаются 1,7•107 Па, а мы-то ориентировались на 5•109 Па, то есть на в 300 раз большую величину! То есть относительное сечение нитей придется, похоже, увеличить в 300 раз, то есть отношение d/l в 17 раз. А такой материал, даже если из него выкачать воздух, не взлетит.


Можно придумать два варианта действий. Первый -- использовать не обычный аэрогель, а сфантазировать конструкцию из углеродных нанотрубок. Второй -- откачивать воздух не сразу весь, а так, чтобы устройство еле-еле оторвалось и начало подъем. И далее, по мере подъема, продолжать откачивать воздух, обеспечивая малость сил, действующих на нити. Теоретически, так можно забраться и в космос -- если, конечно, сам насос ничего не весит.


И в заключение -- какие существуют самые легкие вещества, причем не многофазные композиты -- губки, сотовые конструкции и аэрогели с воздухом внутри, а честные твердые вещества? По-видимому, это так называемые "металлоорганические каркасы", плотность которых бывает 0,12-0,13 г/см3. Прочитать о них можно, например, здесь

https://biomolecula.ru/articles/mofs-nashe-budushchee

www.ihim.uran.ru ? files ? info ? hij2_2018

nplus1.ru ? news ? 2017/04/24 ? uranium-mof


Рекордсмен, наверное, твердый водород с плотностью 0,087 г/см3. Но он рекордсмен только, если не очень жарко, а точнее -- при минус 259,14 °C или 14,01 К (данные приведены по англоязычной Википедии, в русскоязычной данные в °C и K в статье про него не согласованы).