# Иллюзия кривизны

Петр Васильевич Путенихин

Проекция на плоскость любого многообразия является евклидовым, плоским двухмерным многообразием. Судить об условной кривизне спроецированного на плоскость многообразия следует по его трёхмерному прообразу. С точки зрения внутреннего, двухмерного наблюдателя поверхность трёхмерного прообраза, двухмерное пространство поверхности, многообразие может быть полным эквивалентом евклидовой плоскости. В то же самое время с точки зрения внешнего, трёхмерного наблюдателя, наблюдателя в пространстве погружения это же многообразие может рассматриваться как искривлённое.

Curvature illusion. The projection onto the plane of any manifold is a Euclidean, flat two-dimensional manifold. The conditional curvature of a manifold projected onto a plane should be judged by its three-dimensional preimage. From the point of view of an internal, two-dimensional observer, the surface of the three-dimensional pre-image, the two-dimensional space of the surface, the manifold can be a complete equivalent of the Euclidean plane. At the same time, from the point of view of an external, three-dimensional observer, an observer in the space of immersion, the same manifold can be considered as curved.

Оглавление

Аннотация

Предисловие

Логарифмическая система координат

Диаграммы Картера-Пенроуза

Диск Пуанкаре

Гравюры Эшера

Заключение

Литература


Предисловие


Исследование искривлённых пространств является весьма популярной темой. Но следует заметить, что собственно понятие пространства определено несколько расплывчато. Во многих публикациях в роли пространства рассматриваются явно конечные геометрические объекты. Например, сферу практически всегда называют двухмерным пространством положительной кривизны. Пространства отрицательной кривизны Лобачевского изображаются множеством различных фигур. Поверхности цилиндра и конуса признаны в общем случае плоскими пространствами, иначе говоря, обычным пространством Евклида. При таком подходе мы можем назвать пространством вообще любое геометрическое или физическое тело. Например, куб, определённо выглядит как плоское евклидово пространство. Всевозможные пирамиды, тетраэдры, октаэдры и прочие многогранники, лента Мёбиуса и, разумеется, бутылка Клейна - всё это можно назвать пространством.

Однако всё-таки следует различать пространство и геометрический объект. Дать определение пространству, которое устроило бы всех, видимо, невозможно. Чем же кардинально различаются объекты и пространство? Пожалуй, самым очевидным различием является то, что пустое пространство характеризуется измерениями и координатной сеткой, а объект - своими геометрическими размерами внутри пространства, в его координатной сетке. Заметим, что формально нанести координатную сетку можно и на любой геометрический объект. Но редко на каком из них такая сетка получается непротиворечивой. Зачастую противоречиво само понятие координат. Ортогональные координатные линии на некоторых "пространствах" переходят друг в друга, а сами линии пересекают себя [5]. Задать координаты точки в такой системе весьма непростая задача. Отнесение того или иного геометрического образования к пространству или простому объекту в пространстве чаще всего производится, что называется, на вкус исследователя.

Пожалуй, самым фундаментальным, непротиворечивым, всеобъемлющим и, возможно, единственным приемлемым представителем пространства является пространство Евклида. Любое иное пространство можно рассматривать как вложенное в пространство погружения - многомерное пространство Евклида. Само же это пространство зачастую в других пространствах обозначается присутствующим лишь фрагментарно, в предельном, урезанном варианте. Из этого можно сделать ещё одно наблюдение: любое замкнутое пространство перестаёт быть таковым, превращается в конечный геометрический объект в евклидовом пространстве.

Вместе с тем, кривизна пространства - это характеристика, которая может относиться как к геометрическим объектам, так и к плоским эквивалентам пространства Евклида. Известны пространства, которые условно можно назвать "мятыми". Такое пространство можно получить, просто изогнув, сложив, смяв евклидову плоскость без растяжений и разрывов. Условные обитатели такого "мятого", в частности, двухмерного пространства так и будут воспринимать его: как евклидово плоское пространство. Никакими наблюдениями и измерениями типа параллельного переноса вектора или вычисления суммы углов треугольника они не смогут обнаружить изгибы своего пространства. Оно и на самом деле внутренне плоское. Увидеть его изгибы можно только из пространства погружения большей размерности [7].

Другими словами, собственно кривизна, внутренняя кривизна пространства отличается от кривизны объекта, кривизна поверхности которого определяется внешним взглядом. Кривизна пространства с точки зрения его обитателей, внутренняя определяется тем, какую координатную сетку в нём нанести. Отождествление пространства и объекта ведёт к тому, что реально плоское пространство может быть диагностировано как искривлённое.


Логарифмическая система координат


Вероятно, одним из первых способов кажущегося искривления плоского двухмерного пространства является использование логарифмической сетки координат. Довольно просто показать, что при переводе евклидовой плоскости в логарифмическую систему координат, искажаются как кривые, так и прямые линии. Это хорошо видно на примере треугольника.


Рис.1. Треугольник в а) обычной декартовой и b) двойной логарифмической системах координат


Треугольник нанесён на поверхность в декартовых координатах, а после перевода их в двойные логарифмические, форма треугольника визуально изменилась. Двойные логарифмические координаты - это логарифмические координаты по обеим координатным осям. Навскидку можно оценить сумму углов треугольника ABC на рис.1b. Одна из его сторон, сторона AB близка к прямолинейной, но две другие - значительно выгнуты наружу. Это значит, что углы B и C превышают таковые, если бы все стороны были прямолинейными. Следовательно, сумма углов треугольника явно превышает 180 градусов. Внутренний, двухмерный наблюдатель должен диагностировать это пространство как пространство положительной кривизны. Для наглядности покажем, что прямые линии при логарифмическом преобразовании координат искривляются в общем случае


Рис.2. При переходе от а) декартовой системы координат к b) двойной логарифмической системе прямые линии искривляются


То, как изменяется форма кривых при преобразовании линейных декартовых координат в двойные логарифмические, покажем на примерах окружностей. Для этого построим на поверхности рис.3а окружность, описываемую уравнением


В логарифмических координатах такое построение невозможно, поскольку переменные в уравнении могут принимать нулевые значения. Поэтому для последующего преобразования рисунка в логарифмические координаты используем другое уравнение окружности: с центром, смещённым относительно начала координат


Для перехода на логарифмическую шкалу при любых положительных значениях смещения центра круга x0 (больше-равно) R и y0 (больше-равно) R, дополнительно смещаем его от осей координат на единицу, то есть, уходим от нулевых и отрицательных значений:


Также дополнительно наносим на диаграмму несколько радиусов круга, которые в дальнейшем будем рассматривать как меридианы. После преобразования координат рис.3а в двойные логарифмические координаты получаем окружность рис.3b, которая выглядит как криволинейный объект.


Рис.3. Окружность в двойной логарифмической системе координат


Если признать плоскость рисунка деформированной, сжатой евклидовой плоскостью, то параллельный перенос вектора по изображенному замкнутому контуру, по внешней линии, не являющейся геодезической, вернёт его с неизменным направлением. Казалось бы, это объективное доказательство плоскости, особенно, учитывая ортогональность линий координатной сетки. Но если мы объявим, что данная поверхность - криволинейная, причём изображённая на ней линия - геодезическая, то параллельный перенос будет невозможен. Ортогональные линии в этом случае следует объявить криволинейными, как параллели на сфере. Теперь возможен только эквиугловой перенос. На искривлённой поверхности такой перенос вектора вдоль замкнутой геодезической также не приводит к его повороту, то есть, и это допущение окажется корректным.

Фигуру на рис.3а мы можем рассматривать как вид на Землю со стороны северного полюса. Контур фигуры - это экватор Земли, а радиальные линии - некоторые меридианы. Хорошо видно, что любой треугольник, например, треугольник ANB на рис.3а имеет традиционную сумму углов, превышающую 180 градусов. То есть, эта поверхность является пространством положительной кривизны. Однако эта же фигура в логарифмических координатах на рис.3b имеет свойства пространства отрицательной кривизны. Тот же самый треугольник ANB явно имеет сумму углов, меньшую 180 градусов. То есть, в этих координатах поверхность Земли выглядит как пространство отрицательной кривизны. При этом для внутреннего, плоского наблюдателя это пространство по-прежнему является евклидовой плоскостью, многообразием с нулевой кривизной.

Квалифицировать действительный характер кривизны поверхности можно лишь двумя способами: декларировать вид объекта в пространстве погружения в виде некоего объёмного тела и кривизну его поверхности, либо изначально объявить какую-либо кривизну этого пространства на плоскости. Все последующие процедуры - измерение углов треугольников и переносы векторов однозначно предопределяются этими исходными постулатами.

Для последующих исследований построим на плоской двухмерной поверхности три окружности рис.4, описываемые обобщенными уравнениями


Как и в предыдущем случае для перехода на логарифмическую шкалу дополнительно смещаем эти окружности от осей координат на единицу: от нулевых и отрицательных значений:


Три исходные пересекающиеся окружности мы построили в декартовых координатах. Повторим, что в этом плоском двухмерном пространстве окружности по определению геодезическими не являются.


Рис.4. Три пересекающиеся окружности


Преобразуем, как и выше, эту исходную декартову систему координат в двойную логарифмическую. Видим, что построения выполнены корректно и в преобразованной, логарифмической системе координат мы получили криволинейный треугольник ABC. Поскольку на рис.5b отсутствуют координатные линии, мы можем принудительно установить характер многообразия: признать его плоским или искривлённым. Это допустимо при традиционном отказе от пространства погружения [6, т.1, с.411; 3, с.108], согласно которому считается, что внутренний "двухмерный" наблюдатель и без его учёта сможет определить кривизну своего пространства. Однако при отсутствии координатной сетки, сетки из геодезических неопределённым становится вопрос: какие линии для него являются геодезическими.


Рис.5. Три пересекающиеся окружности в двойной логарифмической системе координат: a) полный размер; b) увеличенный фрагмент


С плоским многообразием особых проблем не возникает: параллельный перенос на нём допустим по любым линиям, как геодезическим, так и произвольным, искривлённым. В обоих случаях вектор вернётся после обхода замкнутого контура в исходную точку без поворота. Но эквиугловой перенос вектора вдоль произвольной, не геодезической линии в таком пространстве недопустим: в процессе переноса вектор в общем случае испытает поворот.

Напротив, если мы постулируем кривизну этого пространства, то невозможным станет уже параллельный перенос [7]. Кроме этого мы также постулируем, что изображённые на рисунке рис.5 линии являются геодезическими. Иначе мы не имеем вообще никакой возможности говорить о переносе вектора. Если же эти линии - геодезические, то разрешён эквиугловой и только эквиугловой перенос. И в этом случае мы неизбежно, однозначно констатируем: многообразие искривлено, как мы и постулировали. Связано это с тем, что контур не является неразрывной, единой геодезической. Если контур состоит из разных геодезических, то эквиугловой обход вектором замкнутого контура обязательно приводит к его повороту, как показано на рис.5b. Исходный, черный вектор из точки C перемещён последовательно по трём геодезическим по часовой стрелке с возвратом в исходную точку, в которой он изображён зелёным цветом. Векторам в их началах добавлены короткие отрезки касательных к соответствующей геодезической. Угол к каждой геодезической в процессе переноса был неизменным, это эквиугловой перенос. То есть, мы вновь получили подтверждение нашему постулятивному определению многообразия как искривлённого.

Судить о кривизне пространства, представленного на евклидовой плоскости в виде криволинейных фигур и даже в виде аксонометрии можно не всегда. Как правило, возникает неопределённость: одна и та же фигура достаточно корректно может рассматриваться и как искривлённое, и как плоское, евклидово двухмерное многообразие. Таким образом, как мы уже отметили выше, характер многообразия определяется априорно, некими условиями, которые до всех измерений уже назначают пространству характеристики кривизны.

Окружность в декартовых координатах, изображённая выше на рис.3a, после преобразования координат в логарифмические сразу же превращается в сильно искривлённую фигуру. Тем не менее, эта фигура по-прежнему является плоским двухмерным многообразием, поскольку находится на евклидовой плоскости. И таковым, плоским многообразием они, окружность рис.3a и фигура рис.6a, воображаемая аксонометрия этой окружности, будут оставаться до тех пор, пока мы явным образом не объявим их многообразиями искривлёнными и не предоставим доказательство этого.


Рис.6. Аксонометрия логарифмического пространства и её проекция вдоль вертикальной оси.


Двухмерное многообразие может быть искривлённым тогда и только тогда, когда оно находится в пространстве погружения более чем с двумя измерениями и при этом само является поверхностью объекта, как минимум, трехмерного. Иначе говоря, фигуры в нашем случае являются поверхностями трёхмерных объектов: фигура на рис.3a - это полусфера, а фигура на рис.6 - некая неопределённая, сильно искривлённая, куполообразная фигура, тело. И здесь становится важным априорное знание: эта вторая фигура, вообще-то является линейно преобразованной, деформированной полусферой.

Однако линейное координатное преобразование полусферы привело, кроме того, к изменению и параметров её кривизны. Действительно, криволинейны треугольник ANB на полусфере рис.3a, рис.7 и, вероятно, на рис.6b свидетельствует о том, что поверхность имеет положительную кривизну, поскольку сумма его углов превышает два прямых. Напротив, на рис.3b и рис.6a мы, наблюдатели из пространства погружения видим, что эти проекции определённо являются двухмерными многообразиями отрицательной кривизны: сумма углов этих треугольников явно меньше двух прямых. При этом, условный наблюдатель, обитатель этой двухмерной поверхности определит сумму углов как на полусфере - больше двух прямых.


Рис.7. Вид на Землю с нанесёнными на неё параллелями и меридианами со стороны северного полюса


Двухмерная сферическая поверхность является наиболее простым и практически однозначным вариантом пространственной кривизны. Тем не менее, практически всегда при исследовании линий, геодезических на этой поверхности с полной определённостью указывается, что это именно сферическая поверхность. Если же такой ссылки на сферичность нет, то двусмысленность неизбежна [7, рис.2.2; 11, рис.13]. Все исследования поверхности шара опираются на наше изначальное, априорное знание о том, что эта поверхность искривлена. Однако поверхность шара может быть деформированной евклидовой плоскостью, то есть, для внутреннего наблюдателя быть многообразием плоским.


Диаграммы Картера-Пенроуза


Приём изменения характеристик координатной системы, сжатия пространства путём разбиения осей на произвольные отрезки используется довольно часто. Как правило, главной целью, как и в случае логарифмического сжатия осей, является стремление расширить охватываемую область пространства на ограниченной поверхности листа, экрана, вывести на неё как можно больше графической информации. Одним из таких сжатых пространств являются диаграммы Картера-Пенроуза. Используется ограниченная, конечная область, поверхность четырёхугольника - квадрата или ромба, являющегося на самом деле квадратом, поставленным на одну из вершин. В эту ограниченную область "втискивается" полностью вся бесконечная евклидова плоскость. Диаграммы используются в космологии, поэтому принимается, что горизонтально расположены координатные линии времени, а вертикально - радиусы каких-либо космологических объектов, обычно - нейтронных звёзд или Чёрных дыр. То есть, фактически диаграмма является четырёхмерной системой координат.

Вместе с тем, диаграмма является также и очевидной двухмерной плоскостью. Горизонтально в этом случае мы традиционно устанавливаем ось абсцисс x, а вертикально - ось ординат y. Используя такие обозначения, мы можем построить на "перепрофилированной" диаграмме объекты любых размеров, вплоть до бесконечных. Понятно, что такая компрессия осей приводит к соответствующему визуальному искажению, деформации объектов. Например, окружность с вращающейся внутри стрелкой выглядит, как показано на следующей анимации:


Рис.8. Анимированная диаграмма Пенроуза: окружность с вращающейся внутри стрелкой


Окружность на рисунке выглядит как криволинейный, овальный четырёхугольник, а прямая стрелка в процесс вращения постоянно изгибается в разные стороны. Несмотря на это, по определению и по способу формирования диаграмма является плоским двухмерным многообразием. Подчеркнём: исключительно "по определению и способу формирования". Если они нам неизвестны, то вновь возникает дилемма: характер кривизны многообразия определяет, задаёт, постулирует сам исследователь.

Для наглядности покажем, как евклидова плоскость диаграммы Пенроуза может рассматриваться как искривлённая поверхность. Подчеркнём: изначально диаграмма Пенроуза имеет "плоский", евклидов характер. Если за декартовы координаты на диаграмме принимать номера линий, то мы получим всю целочисленную ось, при этом визуальная её длина равна 2, если использовать разбиение оси по обратным степеням двойки. На обычной, тангенциальной диаграмме Пенроуза длина каждой производной оси, стороны квадрата равна 2(пи), и она также номерами линий охватывает всю целочисленную ось. Несложно заметить, что, как и в рассмотренном выше случае логарифмической системы координат, при назначении пространству нулевой кривизны, параллельно перенесённый вектор обойдёт замкнутый контур без поворота. Но и постулирование ненулевой кривизны также найдёт подтверждение этому постулату. Вектор вернётся после обхода контура в исходную точку с поворотом. Как и выше, чтобы судить о характере искривления многообразия мы неизбежно обязаны использовать некоторую априорную информацию, фактически определяющую искривлённость многообразия.


Рис.9. Диаграмма Пенроуза [2] может рассматриваться как плоское, так и как искривлённое двухмерное многообразие


С одной стороны диаграмму на рис.9 можно трактовать как плоское многообразие. В этом случае вектор (красный) можно параллельно переносить по замкнутому контуру, квадрату. В исходную точку он возвращается без поворота. Эквиугловой перенос вектора также не приводит к его повороту, но демонстрация на рисунке такого переноса является довольно сложной процедурой, поэтому мы его не приводим.

С другой стороны, эту же диаграмму можно трактовать и как искривлённое двухмерное многообразие с геодезической координатной сеткой. Параллельный перенос вектора в этом случае невозможен [7]. Эквиугловой перенос по замкнутому контуру с сохранением угла между вектором и линией переноса приводит к повороту вектора (синий) в конечной точке относительно его исходного направления. Для демонстрации, большей наглядности эквиуглового перемещения синих векторов, в их начала добавлены отрезки касательных к линии переноса, с которыми вектор и образует этот неизменный угол. В точках перехода с одной геодезической на другую таких касательных отрезков два, по одному к каждой геодезической в точке их пересечения.

Отметим, что принцип построения диаграмм Пенроуза, компрессия осей, сжатие используемого в них пространства, в равной мере относится и к диску Пуанкаре и гравюрам Эшера, хотя в частных деталях между ними могут быть и различия. У диаграмм Пенроуза базовым принципом является использование шкалы с компрессией, использующей функцию арктангенса. Заметим, что такого же эффекта сжатия пространства можно достичь использованием любой функции, имеющей бесконечный диапазон определения и конечный диапазон изменения. Рассмотрим одну из таких функций компрессии, отчасти похожей на гиперболическую


Параметры n и m в уравнениях имеют конечные диапазоны изменения при бесконечных диапазонах изменения переменных x и y. Величина 2 в знаменателе имеет смысл параметра компрессии и взята такой величины произвольно. С ростом исходных координат некоторой точки x и/или y от 0 до бесконечности, их эквиваленты на диаграмме, параметры m или n принимают, соответственно, значения от 0 до 1. В качестве демонстрации, используя верхнее уравнение системы (1), построим координатные линии оси абсцисс:


Рис.10. Координатная ось x с коэффициентом сжатия, равным 2. Используется для построения подобия диаграммы Пенроуза


Далее на диаграммах реальную x-координату, абсциссу выводимой точки мы будем обозначать новым, временным символом s. Переменная x в этих уравнениях на диаграмме приобретает смысл сжатой, компрессированной абсциссы и заменяет ранее использованную в (1) переменную n. Здесь, как видим, по переименованной координате x шкала изменяется довольно резко, поэтому изменим, увеличим до 10 параметр компрессии и также увеличим до 10 размер оси абсцисс


Теперь скорость уменьшения шага координатных линий по оси абсцисс приобретает более плавный характер


Рис.11. Координатная ось x с коэффициентом сжатия, равным 10. Используется для построения подобия диаграммы Пенроуза


На этом рисунке крайние правые координатные линии показаны условной штриховкой, поскольку они идут настолько часто и близко друг к другу, что сливаются в сплошное чёрное поле. Диаграммная координата n, как видно на рисунке, изменяется в пределах от -10 до +10, причём линии расположены более равномерно, чем на традиционной, базовой диаграмме Картера-Пенроуза.

Уравнение компрессии оси ординат имеет такой же вид (2). Полная координатная сетка (x, y) в первом квадранте приведена на следующем рисунке, на котором предельные линии не показаны по указанной выше причине.


Рис.12. Исходная координатная сетка для построения подобия диаграммы Пенроуза в I-квадранте с коэффициентами сжатия осей, равными 10


Используя этот фрагмент сетки, дополняем диаграмму ещё тремя областями - квадрантами со II по IV. На полученной координатной сетке "вручную", по точкам построим набор прямых линий, наклонённых под 45 градусов. Уравнение таких линий имеет вид


Используем несколько выбранных наугад значений k. Сначала строим четыре симметричные линии: на диаграмме рис.13a они выделены красным цветом. Поскольку на концах этих линий сетка имеет довольно нечёткий вид, удлиняем их по смыслу до предельных значений, до углов диаграммы отрезками линий синего цвета. Далее добавляем ещё три диагональные линии с углом наклона в 45 градусов, выделенные на рис.13a синим цветом. Линии эти строим укороченными - в I и IV квадрантах.


Рис.13. a) Диаграмма с диагональными линиями с углом наклона в 45 градусов в системе координат с коэффициентом сжатия осей, равным 10; b) обмен ролей линий: линии, бывшие координатными, становятся диагональными, а диагональные линии с углом наклона 45 градусов становятся координатными в стиле диаграмм Пенроуза

В завершение переводим диаграмму в традиционное положение, когда исходные сжатые оси координат будут расположены под углом 45 градусов к горизонтали: поворачиваем диаграмму рис.13а на 45 градусов по часовой стрелке - рис.13b. Нарисованные нами вручную цветные дугообразные линии теперь визуально приобрели смысл координатных линий точно такой же, как на традиционных диаграммах Картера-Пенроуза, а линии, бывшие ранее координатными, стали космологическими, линиями, обозначающими нулевые, светоподобные геодезические. Понятно, что такая "ручная" процедура и трудоёмка и неточна, линии приходится "подправлять" так же, вручную.

Составим уравнения для программного построения этих линий, создающих новую координатную сетку. Уравнения в исходных координатах для набора линий, имеющих наклон в 45 градусов и период по оси x, равный некоторой величине k, имеют такой же вид, как и (3)


Выбираем диапазон изменения параметра k = 0,1,2,3...100, то есть, предполагаем построение 100 диагональных линий в исходных координатах, образующих, соответственно, 100 координатных линий в координатах сжатых. Здесь и далее мы принимаем, что параметры m и n в уравнениях (1) и (3) приобрели смысл координат x и y, а исходная переменная x переименована в них в параметр s по оси абсцисс для каждой частной прямой с номером k. С учетом (4), (2) и увеличенных до 10 параметре компрессии и масштабе записываем систему параметрических уравнений


Параметр s, новое временное обозначение реальной координаты x в (1), изменяется от минус до плюс бесконечности. То же самое относится и к параметру p и координате y. Однако на наших диаграммах мы выбираем существенно более узкий диапазон изменения параметров s и p из-за графических ограничений. Можно сказать, что в уравнениях (5) x и y - это фактически номера координатных линий на диаграмме. Преобразуем (5) и получаем параметрические уравнения с единственным параметром s


Используя эти уравнения, строим частичную координатную сетку, занимающую два квадранта. Сетка является программным тиражированием красных линий, построенных вручную на рис.13. После её поворота получаем подобие фрагмента диаграммы Пенроуза:


Рис.14. Подобие, аналог фрагмента диаграммы Пенроуза, использующий гиперболическую компрессию координатных осей. Фигура ABCD является квадратом со стороной 20. Стороны диаграммы обозначены как абсолюты в духе диска Пуанкаре, то есть, являются бесконечно удалёнными областями

Кратно опишем алгоритм построения космологической, в духе диаграмм Пенроуза, координатной сетки на рис.14. Используя уравнения (6), строим набор линий для некоторых их номеров, учитывая изменение знаков параметров и квадранты нахождения фрагментов линий. В приведённом варианте построены линии с номерами k = 0...60 и шагом 2, то есть, построены координатные линии с чётными номерами. Выбран достаточно небольшой диапазон изменения параметра s = -200...+200. Как видно на рисунке, крайние, предельные координатные линии отсутствуют. Это, как и выше, сделано ввиду их высокой плотности, вследствие чего они попросту сливаются.

В результате построений получена координатная сетка, которую копируем и поворачиваем вокруг центра на 45 градусов сначала по, затем против часовой стрелки. В конечном счете, получаем набор x-линий в квадрантах I и IV, а в квадрантах I и II - набор y-линий. Остальные квадранты можно заполнить таким же образом, но для демонстрации в этом нет необходимости. Все стороны квадратной диаграммы обозначены как абсолюты в смысле диска Пуанкаре, то есть, это области, бесконечно удалённые от центра квадрата. Также в демонстрационных целях на полученной неполной координатной сетке, в новообразованной системе координат изображён квадрат ABCD, стороны которого выбраны равными 20.

Главное, что следует из произведённых построений - эти преобразования, сжатие координатных осей являются строго линейными. Под линейностью здесь мы понимаем следующее. Начало координат диаграммы можно переместить в любую точку диаграммы. При этом любая фигура, построенная в какой-либо области диаграммы, будет иметь одни и те же координатные размеры в любой другой. Заметим, что при таком преобразовании, сжатии координат углы между линиями не сохраняются: диагональные линии в исходной системе координат параллельны, в деформированной системе они преобразовались в координатную сетку и, хотя и считаются параллельным, но явно таковыми не выглядят.

Выше, исследуя логарифмическую систему координат, мы пришли к выводу, что плоское многообразие лишь тогда и только тогда можно рассматривать как искривлённое, когда у него есть трёхмерный эквивалент, объёмное тело в пространстве погружения. Только будучи проекцией этого тела на плоскость двухмерное многообразие может в некоторых случаях рассматриваться как искривлённое. Для сферы в логарифмических координатах, как мы показали на рис.6b, такое тело имеет весьма замысловатый вид.

Исходя из этого, делаем обоснованное предположение, что плоские диаграммы Пенроуза и их подобия, так же должны иметь некие трёхмерные объекты, тела, проекциями которых являются эти диаграммы. Эти трёхмерные объекты предопределяют характер кривизны диаграмм.

У трёхмерных производных объектов сечения, параллельные проекции имеют в общем случае криволинейную огибающую. Поскольку аналоги диаграмм Пенроуза имеют квадратную форму, то, очевидно, и внешняя форма образующих их тел также является квадратичной, а вершиной является центр диаграммы. Иначе говоря, это криволинейная пирамида с квадратным основанием.

Выведем уравнения для построения пирамиды некоторой диаграммы. Вершину пирамиды при построениях задаём как начальную точку. Уравнение огибающей берем с соответствующими осям одинаковыми коэффициентами сжатия


Используем разработанный ранее алгоритм построения диаграммы, и наносим полученную сетку на каждую из четырёх граней пирамиды сверху вниз или от центра, от вершины к краю. Иначе говоря, мы берём диаграмму за центральную точку и вытягиваем вверх, вдоль новой оси z. На аксонометрии рис.15a мы "положили" пирамиду набок, чтобы просто уменьшить суммарную высоту рисунка. Каждое сечение пирамиды от вершины к основанию - это координатный квадрат диаграммы. Поскольку размеры квадратов увеличиваются "с замедлением", при стыковке четырёх граней пирамиды они изгибаются. Высота пирамиды стремится к бесконечности, вследствие чего на аксонометрии замечаем две особенности. Форма граней и рёбер имеет вид кривых, асимптотически приближающихся внизу к граням и рёбрам квадрата диаграммы. Параллели пирамиды, её плоские сечения при этом видны нанесёнными равномерно, на одном и том же расстоянии друг от друга. На рисунке рис.15a это видно с некоторой погрешностью, неравномерностью. На проекции пирамиды, на диаграмме эти линии, напротив, располагаются всё ближе и ближе друг к другу. Это связано с эффектом перспективы: линии равномерны, но из-за кривизны поверхности сверху они видны с уменьшающимся интервалом. Подобный эффект очевидно проявляется на всех сжатых поверхностях и их производных объектах, в том числе, на диске Пуанкаре.


Рис.15. a) аксонометрия криволинейной квадратной "пирамиды Пенроуза" и b) её проекция вдоль главной оси на плоскость; проекция является первичной, исходной декартовой координатной сеткой, основой для формирования подобия диаграммы Пенроуза. Снизу пирамида не ограничена, а продляется в бесконечность, асимптотически приближаясь к квадратному параллелепипеду

Как мы отметили ранее, диаграммы типа рис.15 включают в себя всё бесконечное пространство. Иначе говоря, за пределами абсолюта диаграммы никакого пространства нет и, казалось бы, быть не может. Однако напомним о ставшей традиционной гипотезе сингулярности Чёрных дыр. Согласно ей, сингулярности являются основой, причиной возникновения так называемых кротовых нор. Через такие норы гипотетически можно перейти в другую Вселенную. Эта гипотеза имеет и диаграммное подтверждение в виде соответствующих расширенных решений Шварцшильда. Более того, диаграммы Пенроуза для Чёрных дыр объединяют в бесконечную "этажерку", являющуюся своеобразным "массивом" параллельных миров. Исходя из этого, ничто не мешает нам объединить и наши диаграммы в такое же "многоэтажное" строение. Для этого просто ставим рядом с пирамидой рис.15а другие такие же пирамиды. Фрагмент такой конструкции показан на следующем рисунке. Пирамиды мы расположили вершинами вниз, за плоскость рисунка. Вершины на рисунке обозначены как Дно. Рёбра состыкованных пирамид бесконечно простираются вверх и обозначены как Пик или знаком бесконечности. Интересно, что каждый квадрат, содержащий в себе бесконечную Вселенную, на рисунке имеет конечные размеры.


Рис.16. Множественные Вселенные на периодической диаграмме, подобной диаграммам Пенроуза


В заключение отметим очевидное: стороны квадрата, ромба координатно бесконечно удалены от его центра, то есть, мы вполне обоснованно можем квалифицировать их как абсолюты в смысле диска Пуанкаре. Заметим, что здесь так же помимо прямого сжатия, при котором абсолютом является внешний квадрат проекции, как показано на рис.15b, возможно и инверсное сжатие, при котором координаты на внешнем квадрате имеют конечное значение, а параллели сходятся к центру квадрата, в бесконечные значения координат. Четыре смежные диаграммы, расположенные вокруг такого центра, как показано штриховой линией на рисунке рис.16, являются проекцией объекта, который мы назвали по аналогии с псевдосферой Бельтрами псевдокубом Пенроуза.


Диск Пуанкаре


Как мы отметили выше, подобием квадратной диаграммы Пенроуза является, назовём её так, круглая диаграмма Пенроуза, фактически тождественная диску Пуанкаре. Как считается, диск Пуанкаре описывает бесконечное пространство отрицательной кривизны Лобачевского. Исследованию и иллюстрациям этого пространства посвящены разные работы, например, [9]. В этой работе можно заметить отмеченную нами особенность в отношениях пространства и геометрических объектов: все имитации пространств Лобачевского отчётливо выглядят геометрическими телами, большинство из которых не только ограничены, но и конечны. В этой связи следует привести важную ссылку. Известно, что полной и регулярной поверхности, внутренняя геометрия которой представляла бы геометрию полной плоскости Лобачевского, поверхности постоянной отрицательной кривизны не существует:

"не удаётся с помощью ни одной из известных до сих пор поверхностей постоянной отрицательной кривизны осуществить целиком всю плоскость Лобачевского... не существует аналитической поверхности постоянной отрицательной кривизны, не имеющей нигде особенностей и повсюду регулярной ... на ... вопрос о том, можно ли по способу Бельтрами осуществить в евклидовом пространстве на некоторой регулярной аналитической поверхности всю плоскость Лобачевского, надо ответить отрицательно" [1, с.304, с.311].

Из этого с полной определённостью следует ещё один вывод: точно так же и диск Пуанкаре, включающий бесконечную протяжённость, не является имитацией бесконечного пространства Лобачевского. Просто потому, что такого имитируемого пространства попросту не существует. Тем не менее, модель Пуанкаре получила всеобщее признание и широкое распространение, и нередко иллюстрируется весьма красочно [10].

Главное отличие диска Пуанкаре от диаграммы Пенроуза состоит в том, что последняя использует декартовы, ортогональные оси координат, а диск фактически использует полярную систему. Граница диска Пуанкаре названа абсолютом, что означает её метрическую, координатную удалённость от центра в бесконечность. Иначе говоря, на диске, как и на диаграмме Пенроуза бесконечное пространство сжато до конечных размеров. Отметим явно: принципы компрессии, сжатия пространства практически, принципиально эквивалентны. Однако собственно функция сжатия диска Пуанкаре в литературе не описывается, либо эти описания весьма редки, поэтому формально мы можем использовать любую функцию, отвечающую указанным выше условиям областей "определения-изменения". Непосредственным следствием этой произвольности является то, что при "разжатии", декомпрессии пространства диска мы получим на плоскости разные эквиваленты геодезических линий пространства Лобачевского, представленных на диске Пуанкаре. Диск Пуанкаре - это, как заявлено, сжатое пространство Лобачевского отрицательной кривизны. Но выше мы отметили и привели ссылку, что такое пространство невозможно, нет такого полного, бесконечного пространства. Невозможно сжать, компрессировать то, чего нет. Как известно, Лобачевский называл свою геометрию "воображаемой", поэтому пространство диска Пуанкаре, видимо, следует называть воображаемым подобием воображаемой, не существующей поверхности, плоскости. Также добавим, что название "диск" не совсем верно. Диск подразумевает наличие третьего измерения, толщины, поэтому правильнее говорить "круг", а не "диск". Что же тогда сжато в этот диск - круг? Самым простым и очевидным является сжатие обычного плоского, бесконечного двухмерного евклидова пространства, которое существует, в отличие от не существующего пространства Лобачевского. Никаких противоречий в процессе построений на диске при этом не возникает, меняется только трактовка смысла преобразования. Поведение геодезических на диске полностью соответствует их гипотетическому поведению как бы в пространстве Лобачевского. Специфическое подобие пятого постулата Евклида для диска имеет традиционный вид, но формулироваться, видимо, должно иначе:

Через точку вне заданной геодезической можно провести две и только две касательные геодезические, то есть, геодезические, не пересекающие заданную.

Подчеркнём особо: касательные геодезические - это линии, не пересекающие заданную. Никаких упоминаний о параллельности в этой формулировке нет и быть не должно [7]. Поскольку, повторим, функция компрессии, сжатия явно не указана, выберем её по своему усмотрению. Нанесём на диск Пуанкаре полярную систему координат, в которой длина радиус-вектора разбита на отрезки, пропорциональные обратным степеням двойки. Это значит, что первый из них от центра имеет единичную длину, а каждый последующий в 2 раза короче предыдущего. В этом случае диаметр диска Пуанкаре будет равен 4. На рис.17а показан набор нескольких произвольных геодезических кажущегося пространства Лобачевского на таком диске. Справа, на рис.17b показаны эти же линии, но на растянутом, "разжатом" пространстве, исходном двухмерном пространстве Евклида. Эти исходные линии геодезических мы для простоты строим на плоскости так же, как и раньше - "по точкам".


Рис.17. Геодезическими на диске Пуанкаре являются дуги окружностей На исходной для диска плоскости Евклида эти дуги являются гиперболами


Как известно, на диске Пуанкаре геодезическими являются полу-окружности, которые в точке касания абсолюта ортогональны к нему. На исходной плоскости Евклида, которую мы для наглядности, для сопоставимости представили так же в виде круга, эти исходные геодезические явно имеют вид гипербол. Это хорошо согласуется с трактовкой пространства Лобачевского как гиперболического.

Диск является двухмерным пространством, принципиально ничем не отличающимся от исходного двухмерного пространства Евклида. То есть, любые фигуры на этих поверхностях имеют строго однозначное соответствие, однако конформным это соответствие, видимо, не является, что можно увидеть на рис.18. Если визуально углы эквивалентных треугольников ABC и кажутся одинаковыми, то о треугольниках CDE этого сказать нельзя: отчётливо видна разница углов этих треугольников. Вряд ли это расхождение можно отнести на графические погрешности.


Рис.18. Построение геодезических треугольников из ортогональных окружностей: a) на диске Пуанкаре и b) из производных для них гипербол в плоском пространстве


На диске можно построить какую-либо традиционную фигуру: квадрат, треугольник, круг, однако все они будут изначально криволинейными фигурами. Построение этих же фигур из геодезических, как видно на рис.17, при переходе в плоскость Евклида превратит их в фигуры, образованные пересечением гипербол. Более удобным является обратное: построение таких фигур на плоскости и перенос их в пространство диска. На рис.19b в плоском пространстве изображён треугольник, который на диске Пуанкаре рис.19a преобразовался в криволинейный треугольник. Дуга произвольной, не геодезической дуги окружности зелёного цвета на диске рис.19a преобразовалась на плоскости рис.19b в неопределённую кривую линию.


Рис.19. Диск Пуанкаре и производная евклидова плоскость


Если присмотреться внимательно, то можно заметить, что принцип построения диска Пуанкаре имеет отмеченное выше, мягко говоря, заметное сходство с принципом компрессии на диаграммах, подобных диаграммам Картера-Пенроуза. Также мы отметили, что не всегда можно судить о кривизне пространства, представленного на евклидовой плоскости в виде проекций, криволинейных фигур и иногда даже в виде аксонометрии. Чтобы исключить двусмысленность, необходимо изначально, до начала анализа указать характер кривизны фигуры. Подчеркнём: изображение объекта даже в виде явно криволинейной аксонометрии не всегда может однозначно характеризовать кривизну поверхности. Для наблюдателя из пространства погружения поверхность трёхмерного тела может быть криволинейной, но для внутреннего, двухмерного наблюдателя поверхности этого же тела может быть евклидовой плоскостью. К рассматриваемому диску, кругу Пуанкаре это относится самым непосредственным образом. Диск Пуанкаре мы, безусловно, можем рассматривать как проекцию тела вращения, вблизи вершины напоминающего гиперболоид.


Рис.20. a) аксонометрия диска Пуанкаре и b) её проекция вдоль главной оси. Аксонометрический объект не ограничен справа, а продляется в бесконечность, асимптотически приближаясь к цилиндрической форме

Для наблюдателя из трёхмерного пространства погружения это тело однозначно имеет искривлённую поверхность. Но для обитателя на его поверхности это пространство - евклидова плоскость. Это напрямую связано с принципом формирования этой поверхности, её экспоненциальным сжатием. Тело, имеющее вблизи вершины форму гиперболоида или сфероида, уходит в бесконечность, асимптотически приближаясь к цилиндрической форме. В связи с этим параллели на его поверхности выглядят расположенными равномерно вдоль оси, на одинаковом расстоянии друг от друга. На диске Пуанкаре, проекции этого тела они расположены с уменьшающимися интервалами в сторону абсолюта, что вызвано эффектом перспективы. На рисунке рис.20b крайние окружности вблизи абсолюта мы не показываем по описанной выше причине: линии просто сольются в один сплошной чёрный круг. Геодезическими на гиперболоиде Пуанкаре однозначно являются меридианы. Другие геодезические, видимо, имеют форму, близкую к эллиптической, переходящей в круговую вблизи абсолюта.

Помимо прямого сжатия, при котором абсолютом является внешняя окружность, как показано на рис.20b, возможно своеобразное инверсное подобие диска Пуанкаре, использующее инверсное сжатие с противоположно направленной компрессией - от края к центру, при котором внешний диаметр круга имеет конечное значение, а параллели сходятся к центру круга рис.21b. Аксонометрией этого объекта, инверсного диска является воронкообразный объект, наподобие искривлённого пространства-времени вокруг Чёрной дыры рис.21a.


Рис.21. Инверсное сжатие пространства в диске напоминает псевдосферу Бельтрами


Это подобие проекции диска Пуанкаре может быть в аксонометрии изображено как в виде купола, наподобие псевдосферы Бельтрами, так и в перевёрнутом виде, в виде воронки бесконечной длины. Действительно, модель на рис.21 имеет явное сходство с псевдосферой Бельтрами рис.22 с точностью до функции компрессии, создающей форму внешней огибающей воронки. Воронка вниз (на рисунке - вправо) не ограничена, а продляется в бесконечность, асимптотически приближаясь к прямой евклидовой линии. Учитывая это сходство, можно сказать, что это подобие диска Пуанкаре с внутренним абсолютом так же соответствует роли условной имитации пространства Лобачевского.

Заметим, что непрерывная геодезическая на псевдосфере рис.22а показана неправдоподобно. Это и очевидно и, кроме того, может быть легко проверено мысленным натяжением резиновой нити между начальной A и конечной точкой B изображённой кривой. Нить, как реальная физическая наикратчайшая, однозначно пройдёт более коротким путём, приблизительно по линии AB оранжевого цвета. Очевидно, нить большей частью должна находиться внутри псевдосферы, чтобы прижиматься к выпуклой внутрь поверхности.


Рис.22. a) Псевдосфера Бельтрами и b) её проекция вдоль главной оси


Как мы отметили, одно и то же пространство в зависимости от точки зрения может быть как криволинейным, так и евклидовой плоскостью. Эта двусмысленность возникает в процессе формирования поверхности. Рассмотрим, например, бесконечную евклидову плоскость, на которой нарисованы, скажем, 10 коаксиальных окружностей с равными радиальными расстояниями между ними. Радиус внешней окружности установим равным R. Из центра окружности проведены равномерно, с равными углами между ними, несколько, например, 8 радиусов. Начнём уменьшать длины этих окружностей, но таким образом, чтобы отрезки радиусов между ними, ширина криволинейных колец оставались неизменными. Что произойдёт? Каждая из окружностей будет вынуждена подняться над плоскостью и тем выше, чем она дальше от центра окружностей. Образовавшееся криволинейное тело будет напоминать плетёную корзинку. Очевидно, что криволинейные трапеции между окружностями и радиусами также изменятся. Но мы потребуем, чтобы эти трапеции поднимались вместе с участками евклидовой плоскости, на которую они были нанесены изначально. Следовательно, искажаются и эти участки плоскости - они сжимаются тангенциально, то есть, радиальные отрезки на них не меняются, но круговые дуги укорачиваются.

Рассмотрим эту искривлённую поверхность с её собственной точки зрения или, традиционно, с точки зрения её двухмерных, плоских обитателей. Что они увидят в процессе деформации поверхности? Мы постулируем, что с искривлением, с деформированием поверхности искривляются, деформируются и все без исключения объекты на ней, причём в той же самой пропорции. Это значит, что эти плоские наблюдатели ничего не заметят. Как и исходная поверхность, для них новое пространство, поверхность является евклидовой плоскостью. Все радиальные отрезки неизменны по определению, а тангенциальные в равной степени уменьшают как поверхность, так и все линейки на ней.

Теперь предположим, что коаксиальных окружностей не 10, а бесконечно много. Следовательно, исходный радиус R стремится к бесконечности, а сами окружности тем самым описывают всю бесконечную евклидову плоскость, стремясь в процессе сжатия к некоторому конечному значению, приближаясь к поверхности цилиндра. Искривлённая, деформированная по описанному способу поверхность для внешнего трёхмерного наблюдателя, наблюдателя в пространстве погружения будет иметь вид рис.20a.

Для этого наблюдателя поверхность, тело явно выглядит искривлённым. Этот наблюдатель знает, что поверхность этого цилиндрического подобия гиперболоида просто деформирована, и для внутреннего, двухмерного наблюдателя координатная сетка на ней ортогональна и декартова. Однако нанести на неё прямую евклидову линию он, внешний наблюдатель не может. Из двух "внутренних" прямых параллельных евклидовых линий на этой поверхности, как на вытянутой полусфере, только одна может совпасть с меридианом, вторая для внешнего наблюдателя является эквидистантой к ней.

Экватор этой поверхности находится в бесконечности, но внешний наблюдатель легко обнаружит, что традиционная сумма внутренних углов треугольника меридиан-экватор-меридиан на этой поверхности превышает 180 градусов. Сжимая с деформацией, стягивая к цилиндру бесконечную евклидову плоскость, мы и получили это своеобразное подобие асимптотически цилиндрической полусферы-гиперболоида.

Заметим, что вид, подобный рис.21а, имеет и проекция такой же инверсной полярной, круговой диаграммы Пенроуза, в которой радиальные окружности формируются по проекциям какой-либо координаты вдоль её же оси. Если же использовать в качестве проекции традиционную, декартову квадратную диаграмму Пенроуза, то на ней можно построить псевдокуб, проекция которого выделена штриховой линией на рис.16. Он, как можно догадаться, имеет вид, подобный псевдосфере, но с гранями и с параллелями квадратной формы.

Кроме того, такое же сходство можно обнаружить и у гравюр Эшера. При этом можно заметить, что на гравюрах используется два вида компрессии: компрессия декартовых координат, как на диаграммах Пенроуза, и компрессия полярных координат, как на диске Пуанкаре.

Используя такое же правило неизменности расстояния между концентрическими окружностями, можно осуществить и, так сказать, инверсную деформацию евклидовой плоскости. В этом случае, сжимая с деформацией, стягивая к центру бесконечную евклидову плоскость, мы можем получить ещё одно своеобразное инверсное геометрическое тело, подобие псевдосферы Бельтрами рис.21a, рис.22а.

Для этого начертим на плоскости окружность некоторого радиуса R. Длина её равна 2(пи)R. Следующую окружность помещаем внутри этой. Её радиус установим равным R/2. Следовательно, длина её окружности равна (пи)R. Теперь поднимем эту меньшую окружность вместе с участком плоскости внутри неё вверх на такую высоту, чтобы отрезок радиуса вне её вытянулся до некоторого фиксированного значения, большего R/2. Для простоты и определённости возьмём это значение равным R. Очевидно, что все "радиальные" линии между этими двумя окружностями вытянутся и так же будут равны R. Как и в предыдущем примере, поверхность между окружностями вытянется, деформируется, все криволинейные трапеции увеличатся. При этом условно пропорционально вытянутся и все "местные", коаксиальные окружности между этими двумя. Условно это означает, что отрезок пирамиды может быть как фрагментом конуса, так и иметь изгиб, например, параболический или гиперболический, при котором смежные участки пирамиды, полученные на следующих этапах, не будут иметь видимых изломов по линиям сопряжения.

На полученном таким способом первом участке криволинейной усечённой цилиндрической пирамиде проделаем эту же процедуру с кругом на её плоской вершине. Рисуем на ней новую окружность радиуса R/4 и вытягиваем вверх её вместе с внутренней плоскостью. Фрагмент плоскости, кольцо вне этого круга вновь вытянется, деформируется. Будем поднимать круг до тех пор, пока расстояние между ним и предыдущим кругом, ширина образовавшегося криволинейного кольца не станет равна R. Мы получили, следовательно, теперь уже двухступенчатую криволинейную цилиндрическую пирамиду с плоской вершиной.

Будем продолжать процедуру вытягивания бесконечно. В результате, с учётом гиперболического или подобного ему сглаживания ширины колец, мы получим тело бесконечной высоты, подобное рис.21a, подобие псевдосферы Бельтрами рис.22а. И вновь, как и в предыдущем примере, внутренний, двухмерный наблюдатель на этой поверхности констатирует, что его пространство, двухмерное многообразие является плоским. Более того, находясь до вытягивания пространства на внешней окружности радиуса R, самого вытягивания он не заметит. Внутренний круг, каким был, таким и остался - это основание, дно вытянутого криволинейного конуса. Однако внешнюю часть плоскости, вне этого круга мы обязаны удалить, поскольку изначально предположили, что формируемый конус является эквивалентом бесконечной евклидовой плоскости. Действительно, ни одна из традиционных фигур, например, псевдосфера или просто полусфера, не имеют внешних "прикреплений". Можно вытягивание заменить на закручивание внутрь плоскости. Каждую дополнительную "ступень" пирамиды мы формируем завертыванием внутрь формируемой пирамиды, конуса внешней части исходной евклидовой плоскости. Образующееся при этом коническое тело в этом случае растёт не вверх над плоскостью, а вниз, под неё.

Эти два рассмотренные трёхмерные объекты будут иметь соответствующие проекции, показанные на этих же рисунках рис.20 и рис.21. Очевидно, подобные построения можно проделать и с другими рассмотренными ранее объектами: логарифмической сферой рис.6, обычной полусферой рис.7, пирамидой подобия диаграммы Пенроуза рис.15 и псевдокубом Пенроуза рис.16. И в этих случаях характер кривизны - евклидова плоскость или искривлённая поверхность - будет определяться точкой зрения, наблюдателя внешнего, из трёхмерного пространства погружения, или внутреннего, двухмерного наблюдателя.


Гравюры Эшера


Отметим, что гравюры Эшера являются, пожалуй, одними из наиболее интересных и красочных иллюстраций, воплощений пространства отрицательной кривизны Лобачевского. Эти, по сути, произведения искусства стали трактовать буквально как чисто научные, как иллюстрации конформного представления гиперболической плоскости Лобачевского, которое, в свою очередь, в некоторых вариантах выглядит как своеобразное воплощение диска Пуанкаре. С другой стороны, в некоторых гравюрах можно разглядеть и элементы диаграмм Картера-Пенроуза.

Во всех этих геометрических представлениях исследуемое бесконечное пространство "втискивается" в границы некоторой ограниченной плоской фигуры. У диаграмм Пенроуза - это ромб, квадрат, у диска Пуанкаре - круг, у гравюр Эшера - и круг и квадрат. При такой компрессии пространства становится видимым принципиальное сходство гравюр Эшера с моделями Пуанкаре-Лобачевского. По мнению Пенроуза, гравюры Эшера отождествляются с пространством отрицательной кривизны, плоскостью Лобачевского. Однако гравюры Эшера можно отождествить и с евклидовым пространством диаграмм Пенроуза. Изначально эти диаграммы разработаны как имитация космологического плоского пространства-времени. Однако, как мы показали выше, параметр времени можно заменить второй пространственной координатой, в результате чего мы получим вневременную бесконечную плоскость Евклида, сжатую в рамки ромба (квадрата, поставленного на одну из вершин) конечных размеров.

Мы не будем в деталях выяснять использованной автором действительный характер компрессии плоскости на гравюрах Эшера, в частности, подобных диску Пуанкаре, просто отметим, что на некоторых из них концентрические кольца, содержащие подобные фигуры, увеличивают свой радиус пропорционально обратным степеням двойки. Хотя и приблизительно, с некоторой погрешностью. На таких гравюрах прирост внешнего радиуса каждого последующего, большего кольца равен половине прироста радиуса предыдущего кольца, его внешней окружности


Например, пусть радиус первой окружности, равен единице. Порядковый номер первой окружности обозначим равным нулю: n = 0. Тогда радиус второй (n = 1) будет равен:


То есть, он увеличился в полтора раза. Соответственно "ширина" полосы, кольца между окружностями уменьшается в той же пропорции:


Ширина первой полосы, радиус первой окружности равен 1, а ширина следующей полосы - в два раза уже.

Рассмотрим использование этого алгоритма на примере круговой гравюры Эшера с птицами, которая хорошо описывается полярными координатами. Полярный угол изменяется от 0 до 2(пи), а радиус-вектор в порядковых номерах занимает всю бесконечную целочисленную ось. Визуальная длина радиуса гравюры в этом случае равна 2, как и на степенной диаграмме Пенроуза [2]. На гравюре заметно, что размер второй от центра птицы, действительно, практически в два раза меньше первой, самой большой.


Рис.23. Фрагмент гравюры Эшера с птицами [8, с.52]. Все птицы по размеру равны друг другу и просто пропорционально уменьшены в зависимости от удалённости от центра

Далее замечаем, что размер третьей меньше размера второй также почти в два раза. Для наглядности этих сравниваемых птиц мы выделили цветом. Размеры птиц показаны условными цветными прямоугольниками равной длины. Отклонение размеров элементов гравюры от использованной нами точной геометрической последовательности связано, очевидно, с тем, что это всё-таки не строгий машиностроительный чертёж, а произведение искусства.

На диаграммах Пенроуза компрессия координат, напомним, произведена по закону арктангенса. Но это, о чём мы уже говорили, не принципиально: диаграмма, подобная рассмотренной гравюре, как видим, имеет компрессию, близкую к закону обратных степеней двойки.

Подобный алгоритм можно обнаружить и на другой гравюре: с ангелами и демонами, рис.24. На этой гравюре компрессия выглядит более "быстрой", но и более неравномерной.


Рис.24. Фрагмент гравюры Эшера с ангелами и демонами. Все её персонажи равны друг другу и просто пропорционально уменьшены в зависимости от удалённости от центра

Каждый демон и ангел из их троек в центре гравюры повторяется в уменьшенном виде на некотором удалении от центра вдоль одной из шести осей, угол между которыми равен 60 градусам. Первый, наибольший периодический фрагмент повторяется с уменьшением более чем в три раза, как видно по жёлтым прямоугольникам на рис.24. Следующий повторяющийся элемент уменьшен в 5 раз, что видно по красным маленьким размерным прямоугольникам. Конечно, сравнение мы производим довольно условно, поскольку объекты не только уменьшаются, но и меняют направление и тип (цвет).

Такая же картина хорошо просматривается и на гравюре Эшера с ящерицами (не приводим). На этой гравюре можно заметить только две оси: вертикальную и горизонтальную. Пара центральных ящериц, глядящих в разные стороны, повторяется по этим направлениям, уменьшаясь по мере удаления от центра.

Столь детальный анализ мы привели, чтобы отметить как очевидное: круговые гравюры Эшера, в частности, с птицами, ящерицами и ангелами может тривиально рассматриваться как плоское пространство Евклида. Никаких гиперболических геодезических при этом не требуется. Их появления связано исключительно с визуализацией, точкой зрения. Мы из пространства погружения можем просто выбрать: считать гравюру несуществующей плоскостью Лобачевского или плоскостью Евклида. Они тождественны, равноправны по выбору.

Гравюры Эшера с птицами, ангелами и ящерицами по способу компрессии и использованной полярной системе координат имеют явное сходство с диском Пуанкаре. Другие гравюры Эшера, квадратные имеют уже заметное сходство с диаграммами Пенроуза. Одной из таких наиболее наглядных гравюр квадратной формы является гравюра с рыбами. На этой гравюре изменение размеров рыб происходит практически в точности по закону обратных степеней двойки. На следующем фрагменте гравюры рис.25 мы выделили цветом четыре такие рыбы и нанесли рядом с ними прямоугольники попарно равной высоты. Видим, что самая большая, центральная рыба имеет в высоту практически два больших прямоугольника красного цвета. Размер следующей рыбы равен одному большому прямоугольнику или двум средним, синего цвета. Третья рыба меньше предыдущей так же в два раза, что видно по этим же прямоугольникам. Наконец, последняя, самая маленькая рыба так же в два раза меньше предыдущей.


Рис.25. Фрагмент гравюры Эшера. Все её элементы равны друг другу и просто пропорционально уменьшены в зависимости от удалённости от центра

Этих рыб сейчас мы сравнили только по их размеру. Но и их удалённость от центра так же подчиняется с довольно высокой точностью этому же закону обратных степеней (7). Проведём через точки касания друг с другом рыб, расположенных вдоль координатных осей, ортогональные линии от этих координатных осей в IV квадранте вправо и вниз.


Рис.26. Фрагмент гравюры Эшера. Все её элементы равны друг другу и просто пропорционально уменьшены в зависимости от удалённости от центра


Образовалась отчётливая координатная сетка с переменным шагом, которая визуально описывается законом (7) и также очень похожа на такую же сетку рис.12, использованную при создании диаграммы Пенроуза. Видим, что гравюра Эшера с рыбами имеет однозначное сходство с этими диаграммами, поэтому все выкладки, относящиеся к ним, мы можем отнести и на эту гравюру Эшера. Мы можем прямо заявить, что эта гравюра на самом деле является просто сжатой евклидовой плоскостью. Следовательно, все изображённые на ней фигура имеют на этой плоскости, до её компрессии, один и тот же размер и расположены строго равномерно на всём её бесконечном протяжении.

То, что фигуры, рыбы на гравюре рис.26 все имеют один и тот же размер, можно показать, просто увеличив, "разжав" каждую из сжатых фигур в соответствии с её коэффициентом сжатия (7) или согласно координатной сетке рис.26. Для этого разжатия мы просто вырезаем фрагмент гравюры с соответствующей рыбой и растягиваем его. Отмечаем корректность этой процедуры: на рис.27 мы выстроили в ряд эти увеличенные фрагменты и заключаем, что все они равны друг другу.


Рис.27. Фрагмент гравюры Эшера. Каждый элемент справа увеличен пропорционально.


Следует отметить низкое качество, плохое пиксельное разрешение увеличенных рыб. Связано это с низким, недостаточным разрешением исходного рисунка. При увеличении какого-либо фрагмента рисунка неизбежно уменьшается количество точек на один и тот же его элементарный квадрат. Проблему качества можно решить обратной процедурой. На рис.28 мы каждую следующую, более удалённую от центра рыбу получаем уменьшением предыдущей рыбы, более близкой к центру. Теперь количество точек в копии пропорционально уменьшается, но качество рисунка, этого фрагмента ухудшается уже не так сильно. Уменьшенные таким способом фрагменты мы накладываем на оригинальный, исходный рисунок в соответствующей его зоне.


Рис.28. Фрагмент гравюры Эшера. Оригинальная правая сторона заменена элементом 1, повторяющимся с уменьшением: 2, 3, 4, 5. Снизу показан этот же фрагмент в оригинале.


Для сравнения добавленных уменьшенных фигур с оригинальными снизу приведён оригинал фрагмента диаграммы и в стыках рыб проведены вертикальные, тонкие белые линии. Прямыми измерениями ширины добавленных фрагментов 1, 2, 3, 4 и 5 можно определить, что с достаточной точностью каждый фрагмент, рыба на нём имеет ширину в два раза меньшую, чем предыдущий, слева от него.

Ещё раз обратимся к гравюре с птицами. По мнению Пенроуза, высказанному в подписи к этой гравюре Эшера, и которое мы считаем спорным

"Гравюра на дереве, очень точно иллюстрирующая конформное представление гиперболической плоскости" [8, с.52].

В подписи к следующему рисунку эта мысль получает дальнейшее развитие


Рис.29. Гравюра Эшера в работе Пенроуза с выделенными гиперболическими прямыми. Рисунок, иллюстрация гравюры Эшера в работе [8, с.53]


Сам рисунок является повторением предыдущего, гравюры Эшера с птицами, на которую нанесены дополнительные линии. В подписи к рисунку говорится:

"Та же гравюра Эшера, что и на рис.2.11, только теперь на ней выделены гиперболические прямые ... и гиперболический треугольник" [8, с.53].

Линии на рисунке таковы, что отчетливо видно: гравюра трактуется как диск Пуанкаре. Следовательно, наши исследования этого диска мы можем отнести и к этой гравюре. Высказанное в подписи к ней мнение мы осторожно объявим ошибочным. К выделенным на рисунке "прямым" в подписи в скобках дается пояснение, что это

"евклидовы прямые или дуги евклидовых окружностей, пересекающие ограничивающую окружность под прямым углом" [8, с.53].

Однако эти "прямые" следует всё-таки называть геодезическими, чтобы не вводить читателя в заблуждение, тем более, с уточнением "евклидовы прямые". Ни с какой точки зрения эти геодезические не являются прямыми, тем более евклидовыми: ни с точки зрения внешнего наблюдателя, из трёхмерного пространства погружения, ни с точки зрения внутреннего, двухмерного наблюдателя. Эти линии, названные гиперболическими "прямыми", действительно, видны внешнему наблюдателю, находящемуся в пространстве погружения Евклида E3 как дуги евклидовых окружностей. Однозначно, это дуги окружностей, которые для внешнего наблюдателя ни гиперболическими, ни, тем более, евклидовыми прямыми не являются.

Наблюдатель во внутреннем двухмерном пространстве гравюры, "плоский" наблюдатель, действительно, будет видеть указанные окружности как гиперболы, как показано на наших рисунках рис.17 и рис.18. Но и для него эти линии являются обычными гиперболами, не имеющими никакого отношения к "прямым линиям" и даже геодезическим. Геодезическими линиями для него будут строго прямые евклидовы линии, которые на диске будут видны как кривые, что показано на рис.19 красным треугольником. Исходным пространством, сжатым в диск Пуанкаре или гравюру Эшера с птицами и выявленной метрикой является и может быть только двухмерная плоскость Евклида. Далее в цитируемой подписи к рисунку говорится

"Гиперболические углы совпадают с евклидовыми углами" [там же].

Мы определили, что гравюра Эшера с птицами определённо имеет полярный радиус с делениями по закону обратных квадратов (7). При таком сжатии двухмерного многообразия диск Пуанкаре и, соответственно, поверхность гравюры с птицами может быть получена, только если исходное двухмерное многообразие является евклидовой плоскостью. Кроме того, никакого исходного гиперболического многообразия, полной плоскости Лобачевского не существует [1, с.304, с.311].

Вновь обратимся к нашему рисунку рис.18. При таком соотношении исходного многообразия и многообразия сжатого в диск или гравюру, углы одних и тех же треугольников, на нашем рисунке рис.18 это углы треугольника CDE, не совпадают. Наконец, в подписи делается вывод:

"Постулат о параллельности (в формулировке, проиллюстрированной на рис. 2.8б) явно нарушается, а углы треугольника дают в сумме величину, меньшую (пи)" [8, с.53].

Говорить о сумме углов треугольника мы имеем право только в том случае, когда он образован геодезическими. Можем ли мы считать геодезическими изображённые на гравюре дуги окружностей? Если да, то следует уточнить, в каком именно пространстве эти линии - геодезические? Вопрос крайне спорный: диск Пуанкаре и гравюра не имеют, условно говоря, "искривлённого" первоисточника. Нет такого пространства отрицательной кривизны, из которого они выведены и которое якобы представляют, отображают. Если считать диск и гравюру искривлённым многообразием, то это совершенно самостоятельные, независимые многообразия и, заметим, довольно странные, учитывая их явное происхождение из евклидовой плоскости. Следовательно, называть дуги окружностей геодезическими мы можем, но это будет ничем не обоснованная декларация, просто постулат, аксиома, если угодно.

Что касается постулата о параллельности, то не он нарушается - отвергаются сами представления о параллельности на искривлённой поверхности [7]. Упоминать параллельность в рассуждениях об искривлённых многообразиях у нас нет никаких оснований.

Хотя принцип построения гравюр с шестью и двумя осями принципиально один и тот же, тем не менее, увидеть геометрию Лобачевского на этих гравюрах весьма проблематично. На квадратной гравюре с рыбами, имеющей четыре оси, мы выделили повторяющиеся с уменьшением элементы, рыб вдоль одной из осей. Попытки построить на этой гравюре гиперболические прямые привело к появлению обычных евклидовых прямых.


Заключение


Диск Пуанкаре не может рассматриваться как имитация пространства отрицательной кривизны Лобачевского, поскольку аналитической поверхности постоянной отрицательной кривизны попросту не существует.

Диск охватывает пространство бесконечной протяжённости, и этим пространством может быть только евклидова плоскость, деформированная, асимптотически сжатая в круг конечных размеров.

Диаграммы Пенроуза можно рассматривать как двухмерное многообразие, евклидову плоскость деформированную, асимптотически сжатую в квадрат конечных размеров. Функцией сжатия, компрессии такого многообразия может быть не только арктангенс или тангенс, но и любая функция с бесконечной областью определения и конечной областью изменения.

Изменение "направления" компрессии на таких диаграммах Пенроуза и их подобиях формирует производное трёхмерное геометрическое тело бесконечной высоты и квадратным основанием конечных размеров. Тело напоминает криволинейную пирамиду, подобную псевдосфере Бельтрами и названо нами псевдокубом Пенроуза.

Гравюры Эшера имеют все признаки как диска Пуанкаре, так и диаграмм Пенроуза. Как и диск Пуанкаре, по тем же причинам, гравюры Эшера не могут рассматриваться как имитация полного пространства отрицательной кривизны Лобачевского. Полуокружности, гиперболические "прямые" на гравюрах являются кажущимися подобиями геодезических Лобачевского, поскольку получены особым искажением, деформацией гипербол на евклидовой плоскости.

Любое плоское или искривлённое двухмерное многообразие рассматривается в виде проекции на плоскость, то есть, на самом деле является евклидовым, плоским двухмерным многообразием. Судить об условной кривизне многообразия на плоскости следует по его прообразу объекта большей размерности, объекта в пространстве погружения, проекцией которого оно фактически является. Другими словами: кривизна многообразия, спроецированного на плоскость должна быть известна до проецирования.

Характер кривизны поверхности определяется точкой зрения, в зависимости от которой одно и то же двухмерное многообразие может выглядеть как плоским, так и искривлённым. Иначе говоря, одна и та же поверхность, двухмерное многообразие одновременно может рассматриваться и как евклидова плоскость, и как искривлённая поверхность.


Литература


1.   Гильберт Д. "Основания геометрии", пер. с 7-го немецкого издания И.С.Градштейна, Москва - Ленинград, ОГИЗ, Гос. изд. тех.-теор. лит-ры, 1948 г.

2.   Диаграммы Пенроуза. Анализ и критика. -- Саратов: "АМИРИТ", 2017. - 176 с., цв. илл.,

http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/penrose_diag.shtml

https://www.elibrary.ru/item.asp?id=42733192

3.   Зельдович Я.Б., Блинников С.И., Шакура Н.И. Физические основы строения и эволюции звезд, МГУ, 1981

4.   Иллюзия кривизны. Самиздат, URL: http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/illusio.shtml

5.   Логические основания многомерных пространств. -- Саратов: "АМИРИТ", 2018. - 396 с., цв. илл., URL: https://www.twirpx.org/file/3089642/

https://www.elibrary.ru/item.asp?id=42690781

6.   Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация, т.1-3. - М.: "Мир", 1977

7.   Парадоксы параллельности, Самиздат, URL: http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/paraldox.shtml

8.   Пенроуз Р. Путь к реальности или законы, управляющие Вселенной. Полный путеводитель. \\ Пер. с анг. А.Р.Логунова и Э.М.Эпштейна, R&C, Москва, Ижевск, 2007

9.   Попов А.Г. Псевдосферические поверхности и некоторые задачи математической физики, МГУ им. М. В. Ломоносова, Фундаментальная и прикладная математика, 2005, том 11, N 1, с. 227--239. No 2005, Центр новых информационных технологий МГУ, Издательский дом "Открытые системы"

10.  Три модели плоскости Лобачевского. Математический институт им. В.А.Стеклова. URL:

https://etudes.ru/models/lobachevskian-plane-models/

11.  Фридман А.А. Мир как пространство и время. Изд. второе. - М.: Изд. "Наука", 1965 г.


30.01 - 25.02.2022